金融数据统计分析：用描述统计、协方差收缩…

当需要分析收益分布、资产相关性、构建协方差矩阵、运行 CAPM 回归、检验 alpha 显著性、判断收益是否正态或估计置信区间时使用。

适用场景

解决思路

1. 估计样本方差或标准差时除以 `n - 1`（Bessel 校正），不要除以 `n`；收益标准差即“波动率”，年化公式为 `sigma_annual = sigma_period * sqrt(periods_per_year)`（月度乘 `sqrt(12)`，日度乘 `sqrt(252)`）。
2. 用 Jarque-Bera 检验正态性：`JB = (n/6) * (skew^2 + excess_kurtosis^2 / 4)`，原假设为正态时服从 2 自由度卡方分布（5% 临界值 5.99）；注意小样本（n 约小于 50）功效低，不拒绝只是弱证据，大样本下金融收益几乎总因厚尾（股票还有负偏）而被拒绝，应把检验当作筛查并结合偏度/峰度大小与极端观测判断。
3. 估计协方差矩阵：`Sigma_hat = (1/(n-1)) (X - X_bar)^T (X - X_bar)`；当资产数 `p` 接近观测数 `n` 时矩阵病态或奇异，直接用于均值-方差优化会产生极端且不稳定的权重。
4. 使用收缩估计改善协方差矩阵：`Sigma_shrunk = delta * F + (1 - delta) * Sigma_hat`，其中 `F` 是结构化目标（如缩放单位阵），`delta` 是收缩强度；Ledoit-Wolf (2004) 推导出使与真实协方差矩阵的期望平方 Frobenius 距离最小的 `delta`，以少量偏差换取大幅方差下降，得到条件更好、可逆的矩阵和稳定权重；生产环境应使用 `sklearn.covariance.LedoitWolf`（脚本中的 `shrunk_covariance` 只是简化版）。
5. 运行单因子 CAPM 回归 `R_i - R_f = alpha + beta * (R_m - R_f) + epsilon`：`beta = rho * sigma_i / sigma_m` 表示市场敏感度，`alpha` 是风险调整后超额收益，单因子回归中 `R^2 = rho^2`。
6. 用 t 统计量判断回归系数：`t = coefficient / SE`，自由度为 `n - 2` 时 |t| 约大于 2 表示 5% 显著；alpha 点估计为正但 |t| < 2 不能作为有技能的证明。
7. 防止回归过拟合：增加回归元总会提高 R-squared，应使用调整后 R-squared、AIC/BIC 或交叉验证。
8. 用非参数自助法（bootstrap）估计统计量的抽样分布，适用于没有解析标准误（如 Sharpe 比率、alpha）、分布非正态或样本小的情况：从原始 `n` 个观测中有放回地抽取 `B` 个大小为 `n` 的重采样（B = 1,000–10,000）；在每个重采样上计算统计量；用百分位法，`(1 - alpha)` 置信区间取自助分布的 `alpha/2` 和 `1 - alpha/2` 百分位数，自助标准误为 `B` 个统计量的标准差。
9. 注意 i.i.d. 自助法忽略自相关和波动率聚集；对序列相关的收益序列应使用块自助法（block bootstrap）。
10. 按标准分析流程执行：1) 描述统计——均值、波动率（n-1）、偏度、超额峰度，报告时年化；2) 分布检查——Jarque-Bera（注意低功效问题），检查偏度/峰度大小与最大离群值，判断基于正态的方法（参数 VaR、t 检验）是否可用；3) 协方差/相关性（多资产）——样本协方差与相关矩阵，若 `p` 相对 `n` 较大，优化前先做收缩；4) 回归诊断——CAPM 或因子回归，报告 alpha/beta 的 t 统计量与 R-squared，检查残差结构；5) 自助置信区间——对没有干净解析标准误的统计量（Sharpe、alpha、回撤）用自助法给出置信区间，而非只报点估计。
11. 运行脚本 `scripts/statistics_fundamentals.py`：用 `uv run scripts/statistics_fundamentals.py`（PEP 723 内联元数据解析 numpy 和 scipy），或安装 numpy/scipy 后 `python3 scripts/statistics_fundamentals.py`；裸调用或 `--verify` 会在合成数据上演示并断言示例 1 的数值（12 个月序列的 mean 0.8167、std 2.195、JB 0.09），不匹配则非零退出；`--help` 列出可用方法；程序化使用应导入而非运行：`from statistics_fundamentals import StatisticsFundamentals`，再调用如 `StatisticsFundamentals.descriptive_stats(...)`。

适用边界 · 注意事项

• 不要用总体方差代替样本方差：从样本估计时始终用 `n - 1`（Bessel 校正）。
• 不要假设金融收益正态：股票收益通常负偏且超额峰度为正，基于正态的模型（标准 VaR）会低估尾部风险，应使用 Student-t 或非参数方法。
• 不要忽略非平稳性：收益分布随时间变化（制度变迁、波动率聚集），滚动窗口估计或 GARCH 可能比全样本统计更合适。